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十 基尔霍夫定律

1.基尔霍夫定律是什么?

基尔霍夫定律由德国著名物理学家基尔霍夫提出,是求解复杂电路的有效工具

基尔霍夫(1824-1887),德国物理学家,天文学家,化学家,有"电路求解大师"的美誉.他在21岁刚刚大学毕业后便提出了后人称为基尔霍夫第一和第二定律的两个定律.他还将光谱分析法运用到了化学和天文学中,发现了铯和铷.

小笑话: 一日,物理课上,老师正在讲基尔霍夫定律,发现一学生在打瞌睡,便把他叫了起来,"你说说‘基尔霍夫定律’的基尔霍夫是哪个国家的人?"
"德国人!"这个学生脱口而出.老师满脸惊讶,心想,这个学生平常什么也不听,怎么会知道基尔霍夫是德国人呢?
于是又问到,"你能说说你是怎么知道的吗?"
"这还不简单,基尔斯滕(德国著名足球明星)是德国人,比埃尔霍夫(德国著名球星,效力于AC米兰)也是德国人,他基尔霍夫不是德国人会是哪儿人?"
老师满脸疑惑!

考虑下面这个电路局部.你能求出它的等效电阻吗?

图1

或许你现在正在奋笔疾书试图用电阻的串并联解决.那么祝你成功,成功后别忘了告诉我一声.

对于此类复杂电路的求解,最好的方法就是基尔霍夫定律.

在开始探讨基尔霍夫定律之前,我们先推广一下电压和电流的定义.

2.电压电流的推广

前面介绍电压时曾经说过,电压的本质是电位差.换句话说,AB两点之间的电压就等于A点的电位减去B点的点位.那么,AB两点间的电压等于BA两点之间的电压吗?答案变成了,它们互为相反数.因为U_AB=U_A-U_B,U_BA=U_B-U_A.也就是,电压可以为负值.

接电压表时如果接反,发现指针向负数那一边偏转,也说明电压可以是负值.

还记得初一时讲有理数那一章讲过的内容么?负数可以表示相反意义的量.那么,如果A和B之间的电压是负值,说明什么?说明电流是由B流向A的.

同样的道理,电流也可以取负数.

3.新名词

英语学新课之前都要先看一看生词,物理也是这样.

首先介绍结点.元件连接在一起的点叫做结点.图1中有四个结点.注意,两个点如果中间由导线直接连接视为一个.

然后是支路.两个结点之间的部分就是支路.图1中有5个支路

最后一个概念,回路.从一个结点出发绕一圈回到原处,路过的支路合一块叫做回路.图1中有三个回路.

顺便提一下下文要用到的一个符号,求和符号∑,读作"西格玛".在本文中可以姑且理解成
∑i = i₁+i₂+i₃+...+i_n

4.两条定律

下面开始核心内容:基尔霍夫定律.

基尔霍夫定律共有两条.

第一条,基尔霍夫第一定律,也叫基尔霍夫电流定律,缩写KCL.

这条定律说明的内容很简单:

流入结点的电流等于流出结点的电流.

根据上面对电流的推广,如果流入电流的符号是负的,流出电流的符号是正的,这条定律也可表示成,结点所有电流的代数和等于0.即:

∑i = 0

这一点很明显,因为毕竟结点不是用电器,无论来了多少电荷它都会一个不落全部送出去.就好比一个十字路口,进入的车数量一定等于离开车的数量.

第二条,基尔霍夫第二定律,也叫基尔霍夫电压定律,缩写KVL.

和第一定律一样,第二定律的表述形式也有很多.这里提供一个最简单的

在一个回路中,所有支路电压的代数和为0

∑u = 0

这一点也很明显,按照上文提到的电位来理解.考虑电荷是一条船,在一个河网交错的地方行驶.它行驶的地方的水位一会儿降下去(瀑布?),一会儿又升上来(船闸?),最后回到原地,那么很明显,它降下去的高度和升上来的高度一定相等,否则回不到原处.

5.基尔霍夫方程组

基尔霍夫定律两句话看上去都毫无用处,但不要小看他们,它们加在一块可以用来列方程哦!这就是传说中的基尔霍夫方程组.

用基尔霍夫方程组求解电路总共分三步:标记参考正方向,列出方程,解出方程.

首先,从电流流入的结点开始,假设你就是一个正电荷,沿着电路走一圈,标记电流的方向.不用管实际上电流是怎样走的,因为假如我们标记的方向是错误的,解出方程时会解出一个负值,根据符号修改成成正确的就行了.

下面进入最激动人心的时刻,列方程!

首先列KCL方程,这个东西比较简单,只要列出流入电流等于流出电流即可:

I=I₁+I₂
I₁=I₅+I₃
I₂+I₅=I₄
I₃+I₄=I

接下来列KVL方程.我们假设加在其两端电压是6V

一个比较不错的方案是,找出所有电流流入结点到流出结点之间的路径,令其等于电源电压.注意,如果这条路中出现了与参考正方向的冲突,请将其符号变成负号:

U₂+U₄=6V
U₂-U₅+U₃=6V
U₁+U₃=6V
......(暂时不全列了)

回到文章开始的那个问题,现在已经给出了解决方法:代入欧姆定律变形式U=IR,这样方程就只剩下I1,I2等等.用6V除以I,不就求出等效电阻了吗?